Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+3，（n∈N^*）
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）求和

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，驗(yàn)證首項(xiàng)，即可求通項(xiàng)a_n；
（2）直接利用裂項(xiàng)法求解

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

的和即可．

解答： 解：（1）∵a₁=S₁=6，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3≠6，
∴an=

6(n=1) 2n+1(n≥2).

…（6分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，原式=

1

30

當(dāng)n≥2時(shí)，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

•(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴原式=

1

30

+

1

2

•(

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

30

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

2

15

-

1

2(2n+3)

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，考查計(jì)算能力．