Question

已知x＞0，y＞0，且2x，ab，5y成等差數(shù)列，2，a，b，5成等比數(shù)列．
（1）求lgx+lgy的最大值；
（2）求

2

x

+

5

y

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)等差數(shù)列推出x，y的關(guān)系式，然后利用基本不等式求解即可．
（2）利用等比數(shù)列求出x，y的關(guān)系式，然后利用基本不等式求解即可．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由題意知2x+5y=2ab，ab=2×5=10
∴2x+5y=20…（1分）
∵x＞0，y＞0，∴2x+5y≥2

10xy

即20≥2

10xy

，∴0＜xy≤10…（3分）
∵函數(shù)y=lgx在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴l(xiāng)g（xy）≤1，即lgx+lgy≤1…（5分）
當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y且2x+5y=20即x=5，y=2時(shí)，取“=”，
∴當(dāng)x=5，y=2時(shí)，lgx+lgy取得最大值為1．…（7分）
（2）∵x＞0，y＞0
∴（

2

x

+

5

y

）（2x+5y）=29+10（

x

y

+

y

x

）≥29+10×2=49…（10分）
即20（

2

x

+

5

y

）≥49
∴

2

x

+

5

y

≥

49

20

…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)

x

y

=

y

x

且2x+5y=20即x=y=

20

7

時(shí)，取“=”，
∴當(dāng)x=y=

20

7

時(shí)，

2

x

+

5

y

的最小值為

49

20

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．