Question

12．十一長(zhǎng)假期間，各旅游景點(diǎn)游客爆滿，甚至發(fā)生了游客滯留事件，某著名風(fēng)景點(diǎn)的工作人員總結(jié)了前幾年的經(jīng)驗(yàn)，提前為部分游客設(shè)計(jì)了旅游路線圖，其中的一條平面觀光路線DEFD，如圖所示
其中D、E、F是以O(shè)為圓心，AB為直徑的圓周上三點(diǎn)，且AD=BD=$\sqrt{2}$千米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜$\frac{π}{4}$），若游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應(yīng)的線段或弧的長(zhǎng)度成正比，且“留戀度”與路線DE、DF的長(zhǎng)度的比例系數(shù)為2，與路線EF的長(zhǎng)度的比例系數(shù)為1，假定該風(fēng)景區(qū)整體的“留戀度”，y是游客游覽所有路線“留戀度”的和
（1）試將y表示為x的函數(shù)
（2）試確定當(dāng)x取何值時(shí)，該風(fēng)景區(qū)整體的“留戀度”最佳？

Answer 1

分析 （1）由題意知，建立三角函數(shù)模型，根據(jù)所給的條件看出要用的三角形的邊長(zhǎng)和角度，用余弦定理寫出要求的邊長(zhǎng)，表述出函數(shù)式，整理變化成最簡(jiǎn)的形式，得到結(jié)果．
（2）要求函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)上一問(wèn)整理的函數(shù)式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間，看出變量x取到的結(jié)果．

解答 解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的長(zhǎng)分別為π-4x，2x，2x
連接OD，則由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+$\frac{π}{2}$，
∴DE=DF=$\sqrt{1+1-2cos（2x+\frac{π}{2}）}$=$\sqrt{2+2sin2x}$=$\sqrt{2}$（sinx+cosx），
∴y=2[2$\sqrt{2}$（sinx+cosx）+π-4x]+（2$\sqrt{2}$+4x）=2[2$\sqrt{2}$（sinx+cosx）-2x+$\sqrt{2}$+π]；
（2）∵由y′=4[$\sqrt{2}$（cosx-sinx）-1]=0，
解得：cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$，
又當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{12}$）時(shí)，y'＞0，此時(shí)y在（0，$\frac{π}{12}$）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$）時(shí)，y'＜0，此時(shí)y在（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，該公園整體的“留戀度”最佳．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道難度較大的題，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面第一需要自己根據(jù)條件建立三角函數(shù)模型寫出解析式，再對(duì)解析式進(jìn)行整理運(yùn)算，得到函數(shù)性質(zhì)，這是一個(gè)綜合題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．