Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB= ，AD=1，AB=2，BC=3．

（1）求證：SB⊥平面SAD；
（2）求二面角D﹣SC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面SAB⊥底面ABCD，面SAB∩平面ABCD=AB，

DA⊥AB，DA面ABCD，

∴DA⊥平面SAB，SB平面SAB，∴SB⊥AD，

又SA=SB= ，AB=2，∴SA⊥SB，SA∩AD=A，

∴SB⊥平面SAD．

（2）解：過點(diǎn)S作SO⊥AB于O，則SO⊥底面ABCD，

過O作OE∥AD，

以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OE，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（﹣1，3，0），D（1，1，0），S（0，0，1），

∴ =（1，1，﹣1）， =（﹣2，2，0），

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，1，2），

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為 =（a，b，c），

=（﹣1，0，﹣1）， =（0，3，0），

則 ，取a=1，得 =（1，0，﹣1），

cos＜ ＞= = =﹣ ，

由圖形得二面角D﹣SC﹣B的平面角是鈍角，

∴二面角D﹣SC﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導(dǎo)出SB⊥AD，SA⊥SB，由此能證明SB⊥平面SAD．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OE，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣SC﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)．