Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，E和F分別是側(cè)棱CD和PC的中點．
（1）求證：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明平面BEF⊥平面PCD，可證CD⊥平面BEF，由已知可得CD⊥BE，然后證明CD⊥EF，又BE∩EF=E，可得CD⊥面BEF，則平面BEF⊥平面PCD；
（2）延長DA，CB相交于H，連接PH，根據(jù)三角形的邊長關(guān)系，證明PD⊥PH，PC⊥PH，即∠CPD是平面PBC與平面PAD所成的二面角的平面角，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，
∵AB⊥PA，AB∥CD，∴CD⊥PA，
∵BC=BD，E為CD中點，∴CD⊥BE，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$=ED，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
則BE∥AD，
∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，則CD⊥PD，
∵E，F(xiàn)分別為CD，PC中點，
∴EF∥PD，
則CD⊥EF，又BE∩EF=E，
∴CD⊥面BEF，
∴平面BEF⊥平面PCD；
（2）延長DA，CB相交于H，連接PH，
由（1）知四邊形ABED為平行四邊形，
∵PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，
∴BE=AD=2，AH=AD=2，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{6}$，BH=BC=$\sqrt{6}$，
∵∠PAD=120°，∴PA=PH=AH=2，PD=2$\sqrt{3}$，
即∠HPD=90°，即PD⊥PH，
∵PD=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{2}$，
∴在直角三角形PDC中，PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PH=2，HC=2$\sqrt{6}$，
∴滿足PH²+PC²=HC²，
即三角形PHC為直角三角形，則PC⊥PH，
則∠CPD是平面PBC與平面PAD所成的二面角的平面角，
則cos∠CPD=$\frac{PD}{PC}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用定義法證明∠CPD是平面PBC與平面PAD所成的二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．