Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$a-\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）證明：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）恒為增函數(shù)；
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，確定實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）可用增函數(shù)的定義證明，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性說明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）為增函數(shù)；
（2）f（x）在原點(diǎn)有定義，而f（x）為奇函數(shù)，從而有f（0）=0，這樣可以求出a=1，從而$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根據(jù)2^x＞0便可得到2^x+1的范圍，進(jìn)一步得到$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范圍，從而得出f（x）的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}，{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴不論a為何實(shí)數(shù)f（x）恒為增函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a-1=0；
∴a=1；
∴$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
∵2^x＞0；
∴2^x+1＞1，$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評 考查增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時，在原點(diǎn)的函數(shù)值為0，以及指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．