Question

7．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是正方體棱上的一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），滿(mǎn)足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為12；若滿(mǎn)足|PB|+|PD₁|=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，則m的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得點(diǎn)P是以2c=2$\sqrt{3}$為焦距，以a$\sqrt{5}$1為長(zhǎng)半軸，$\sqrt{2}$為短半軸的橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，可求．
（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊，以及點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)時(shí)，短半軸長(zhǎng)小于$\sqrt{2}$，求出m的范圍．

解答 解：∵正方體的棱長(zhǎng)為2，
∴BD₁=$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)P是正方體棱上的一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），滿(mǎn)足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)P是以2c=2$\sqrt{3}$為焦距，以a=$\sqrt{5}$為長(zhǎng)半軸，以$\sqrt{2}$為短半軸的橢圓，
∵P在正方體的棱上，
∴P應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，
結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)應(yīng)該在正方體的12條棱上各有一點(diǎn)滿(mǎn)足條件．
∴滿(mǎn)足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為12個(gè)．
（2）∵滿(mǎn)足|PB|+|PD₁|=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，
∴|PB|+|PD₁|=m＞|BD₁|=2$\sqrt{3}$，∴m＞2$\sqrt{3}$，
∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴正方體的面的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，∴b＜$\sqrt{2}$，
∵短半軸長(zhǎng)b=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-3}$，∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-3}$$＜\sqrt{2}$，解得m＜2$\sqrt{5}$．
∴m的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．
故答案為：12，（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．