Question

18．已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為$\frac{6\sqrt{11}}{11}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)C到平面GEF的距離為h，由題意利用等體積法可得 V_C-GEF=V_G-CEF，由此求得h的值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)C到平面GEF的距離為h，由題意可得CE=CF=$\sqrt{{BC}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴GE=GF=$\sqrt{{CG}^{2}{+CE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{（2}^{2}{+4}^{2}）}$=2$\sqrt{6}$．
取EF的中點(diǎn)為M，則CM=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3}{4}$•4$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，∴GM=$\sqrt{{CG}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+18}$=$\sqrt{22}$．
∵V_C-GEF=V_G-CEF，∴$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•EF•GM）•h=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•EF•CM）•CG，
即 GM•h=CM•CG，即 $\sqrt{22}$•h=3$\sqrt{2}$•2，求得 h=$\frac{6\sqrt{11}}{11}$，
即點(diǎn)C到平面GEF的距離為$\frac{6\sqrt{11}}{11}$，
故答案為：$\frac{6\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間距離的求法，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．