Question

15．若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸長為4，一條準(zhǔn)線方程為x=-4，則該橢圓被直線y=x+1截得的弦長為$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意，利用橢圓性質(zhì)求出橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，由此能求出該橢圓被直線y=x+1截得的弦長．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且2a=4，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得7x²+8x-8=0，
設(shè)直線y=x+1與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴該橢圓被直線y=x+1截得的弦長為：
|AB|=$\sqrt{2[（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}]}$=$\frac{24}{7}$．
故答案為：$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓弦長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡單性質(zhì)和橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．