Question

20．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（1）求a₂的值；
（2）求證{a_2n}是等差數(shù)列；
（3）若a=-9，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并求S_n．

Answer 1

分析 （1）在2S_n=a_na_n+1式中將n=1代入即可求出a₂的值；
（2）由2S_n=a_na_n+1，可得n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1a_n，兩式相減可得遞推關(guān)系式2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），因?yàn)閍_n≠0，所以a_n+1-a_n-1=2，可證數(shù)列{a_2k}為等差數(shù)列；
（3）由（2）{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數(shù)列，分n為奇數(shù)與偶數(shù)分別求通項(xiàng)公式與和即可．

解答 （1）解：∵2S_n=a_na_n+1，∴n=1時(shí)，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∵a₁=a≠0，∴a₂=2．
（2）證明：∵2S_n=a_na_n+1，∴n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1a_n，∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_na_n+1-a_n-1a_n，∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，∴a_2n+2-a_2n=2．∴{a_2n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2．
（3）解：由（2）可得：{a_2n-1}，{a_2n}都是公差為2的等差數(shù)列，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_n=2+2（k-1）=2k=n；
當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_n=a₁+2（k-1）=-9+2k-2=2k-11=n-10．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-10）（n+1），n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{2}n（n-9），n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．