Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1的單調(diào)減區(qū)間為（0，2）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x=0，x=2是方程3x²+2ax+b=0的兩個(gè)根，得到方程組解出即可；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，m＞

x

3(x2-2x+3)

，令g（x）=

x

3(x2-2x+3)

，求出g（x）的最大值，從而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
而函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1的單調(diào)減區(qū)間為（0，2），
∴x=0，x=2是方程3x²+2ax+b=0的兩個(gè)根，
∴

b=0 12+4a+b=0

，
解得：a=-3，b=0；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，
即m（3x²-6x+9）＞x，∴m＞

x

3(x2-2x+3)

，
令g（x）=

x

3(x2-2x+3)

，
∴g′（x）=

1

3

•(

x

x2-2x+3

)′=

1

3

•

3-x2

(x2-2x+3)2

=0，
解得x=

3

或-

3

（舍去），
又g（0）=0，g（

3

）=

3 +1

12

，g（2）=

2

9

，
∴g（x） 的最大值為

3 +1

12

，
∴m＞

3 +1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．