【題目】如圖,長方體的底面為正方形,,,,,是棱的中點(diǎn),平面與直線相交于點(diǎn).
(1)證明:直線平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出,設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,,推導(dǎo)出平面,平面,從而平面平面,由此能證明平面;
(2)以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出二面角的正弦值.
(1)證明:平面平面,
平面平面,
平面平面,
,由題意得,
設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,,
是棱的中點(diǎn),,
平面,平面,
平面,
,,
,
平面,平面,
平面,
,
平面平面,
平面,
平面;
(2)解:以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
,,
∴,,,,
,,,
設(shè)平面的法向量,,,
則,取,得,
設(shè)平面的法向量,
則,取,得,
設(shè)二面角的平面角為,
由,
,
二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào),鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不少于120分的有10人,統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | 10 | ||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)和線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的學(xué)生共5名,若在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的概率.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0),F1,F2為橢圓的左右焦點(diǎn),過F2的直線交橢圓與A、B兩點(diǎn),∠AF1B=90°,2,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線C的漸近線方程為,一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,﹣8),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.已知點(diǎn)A(﹣6,0),若點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn),且P點(diǎn)在x軸上方,當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí),△PAF的周長的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)取一個(gè)由0和1構(gòu)成的8位數(shù),它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的概率為____________ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動(dòng)圓與圓外切,并與直線相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為__________,過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與圓心的軌跡相交于,兩點(diǎn),則直線的斜率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是以為斜邊的等腰直角三角形,中,沿著翻折成三棱錐的過程中,直線與平面所成的角均小于直線與平面所成的角,設(shè)二面角,的大小分別為,,則( ).
A.B.
C.存在D.,的大小關(guān)系不能確定
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