Question

12．已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過(guò)F₂且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若在y軸上的截距為2的直線l與橢圓C分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OM，ON的斜率之和為1，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由題意知c=1，$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，從而解得$a=2，b=\sqrt{3}$，從而解得；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+2，M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得（4k²+3）x²+16kx+4=0，利用韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：（1）依題意可設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1．
由|PQ|=3，可得$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，又c²=a²-b²，
解得，$a=2，b=\sqrt{3}$，
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設(shè)l的方程為y=kx+2，M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)可得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，
∴k²＞$\frac{1}{4}$，
故k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$；
又∵x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
∴${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{k{x_1}+2}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+2}}{x_2}=2k+\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=2k+$\frac{-32k}{4}$=-6k=1，
故k=-$\frac{1}{6}$（舍去）；
故直線l不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．