Question

7．離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$的橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓C交于相異兩點M，N，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{31}{9}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ c=1\end{array}\right.$，及a²=b²+c²，解出即可得出；
（II）①當(dāng)k不存在時，直線l：x=1，與橢圓方程聯(lián)立解出即可得出．
②當(dāng)k存在時，設(shè)直線l：y=k（x-1），弦端點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ c=1\end{array}\right.$，及a²=b²+c²，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{5}\\ b=2\\ c=1\end{array}\right.$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．
（II）①當(dāng)k不存在時，直線l：x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得交點$M（1，\frac{{4\sqrt{5}}}{5}），N（1，-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}）$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{11}{5}$，與題不符，舍去．
②當(dāng)k存在時，設(shè)直線l：y=k（x-1），弦端點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{10{k^2}}}{{5{k^2}+4}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{5{k^2}-20}}{{5{k^2}+4}}\\ \\△＞0⇒k∈R\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{31}{9}$，得${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{31}{9}$，
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}+\frac{31}{9}=0$，
∴k=±1即直線l方程為l：y=±（x-1），
綜上①②可知，直線l方程為l：y=±（x-1）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．