Question

17．平面直角坐標系xoy中，點P為橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點，M、N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線0N的傾斜角，若α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，則橢圓C的離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}]$．

Answer 1

分析 聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得y_N，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-a}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得y_M．利用y_N-y_M=a，化為：$a=\sqrt{3}b$，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$即可得出．同理：把直線方程y=$\sqrt{3}$x，y=$\sqrt{3}$x-a與橢圓方程分別聯(lián)立可得：a=3b．即可得出離心率．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得y_N=$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-a}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得y_M=$\frac{-a{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
則y_N-y_M=$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$-$\frac{-a{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=a，化為：$a=\sqrt{3}b$，此時e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
同理：把直線方程y=$\sqrt{3}$x，y=$\sqrt{3}$x-a與橢圓方程分別聯(lián)立可得：y_N=$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{a}^{2}+3^{2}}}$，y_M=$\frac{3a^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+3^{2}}$．
y_N-y_M=a，化為a=3b．
∴e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴橢圓C的離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}]$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}]$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題、離心率計算公式、平行四邊形的性質(zhì)、相互平行的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．