Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，過原點分別作曲線和的切線，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；

（3）設，當時，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）詳見解析

（3）

【解析】

試題分析：第（1）問利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對參數(shù)的分類討論；第（2）問背景為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關于直線對稱的特征，得到過原點的切線也關于直線對稱，主要考查利用導函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點存在定理的應該用求參數(shù)的問題，得到不等式的證明；第（3）問考查利用導數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問題，求導過程中用到了課后習題這個結(jié)論，考查學生對課本知識的掌握程度．

試題解析：（1）依題意，函數(shù)的定義域為，對求導，得．

①若，對一切有，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

②若，當時，；當時，．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）設切線的方程為，切點為，則，

，所以，，則．

由題意知，切線的斜率為，的方程為．

設與曲線的切點為，則，

所以，．

又因為，消去和后，整理得.

令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

若，因為，，所以，

而在上單調(diào)遞減，所以．

若，因為在上單調(diào)遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知，．

（3），．

①當時，因為，所以，

在上遞增，恒成立，符合題意．

②當時，因為，所以在上遞增，且，則存在，使得．

所以在上遞減，在上遞增，又，所以不恒成立，不合題意．

綜合①②可知，所求實數(shù)的取值范圍是．

考點：導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題.