Question

20．已知橢圓mx²+4y²=1的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則實數(shù)m等于2或8．

Answer 1

分析 分類求出橢圓的長半軸長和半焦距，代入橢圓離心率求得實數(shù)m的值．

解答 解：由mx²+4y²=1，得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，
若$\frac{1}{m}＞\frac{1}{4}$，得0＜m＜4，此時$a=\frac{\sqrt{m}}{m}$，${c}^{2}=\frac{1}{m}-\frac{1}{4}=\frac{4-m}{4m}$，$c=\frac{\sqrt{m（4-m）}}{2m}$，
則$\frac{\frac{\sqrt{m（4-m）}}{2m}}{\frac{\sqrt{m}}{m}}=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：m=2；
若$\frac{1}{m}＜\frac{1}{4}$，得m＞4，此時$a=\frac{1}{2}$，${c}^{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{m}=\frac{m-4}{4m}$，$c=\frac{\sqrt{m（m-4）}}{2m}$，
則$\frac{\frac{\sqrt{m（m-4）}}{2m}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{m（m-4）}}{m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：m=8．
故答案為：2或8．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．