Question

10．函數(shù)f（x）=x³+（a-1）x²-（a+1）x-a．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1時的切線斜率為-1，求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若對任意實數(shù)a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函數(shù)，求m與n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由f（x）在x=1時的切線斜率為-1，得到f′（1）=-1，由此求得a的值，代入原函數(shù)得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)f′（x），更換主元，令u（a）=（2x-1）a+（3x²-2x-1），由u（a）＞0對a∈[-1，1]恒成立得關于x的不等式組，求解不等式組，結合函數(shù)f（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函數(shù)求得m，n的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=x³+（a-1）x²-（a+1）x-a，得
f′（x）=3x²+2（a-1）x-（a+1），
∵函數(shù)f（x）在x=1時的切線斜率為-1，∴f′（1）=3+2（a-1）-（a+1）=-1，即a=-1．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=x³-2x²+1；
（2）f′（x）=3x²+2（a-1）x-（a+1）=（2x-1）a+（3x²-2x-1）．
令u（a）=（2x-1）a+（3x²-2x-1），
要使u（a）＞0對a∈[-1，1]恒成立，只需使：
$\left\{\begin{array}{l}{u（1）=（2x-1）+（3{x}^{2}-2x-1）=3{x}^{2}-2＞0}\\{u（-1）=-（2x-1）+（3{x}^{2}-2x-1）=3{x}^{2}-4x＞0}\end{array}\right.$，
即x＞$\frac{4}{3}$或x＜$-\frac{\sqrt{6}}{3}$．
又∵函數(shù)f（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函數(shù)，
∴$m≤-\frac{\sqrt{6}}{3}，n≥\frac{4}{3}$，即m，n的取值范圍分別是$（-∞，-\frac{\sqrt{6}}{3}]、[\frac{4}{3}，+∞）$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．