Question

4．雙曲線(xiàn)$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于點(diǎn)M、N，則|MN|等于$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，將漸近線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)的距離公式求出|MN|．

解答 解：不妨取雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為y=$\frac{a}$x，
與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立消去y得2x²=a²
解得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$a代入漸近線(xiàn)方程得M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
所以|MN|=$\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{2}b）^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$．
故答案為：$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置有關(guān)、考查解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，常將直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立．