Question

6．已知f（x）=|x-a|+|2x-a|，a＜0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，分段討論f（x）的解析式，可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-3x，x≤a\\-x，a＜x≤\frac{a}{2}\\ 3x-2a，x＞\frac{a}{2}\end{array}\right.$，作出其圖象，分析可得其最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，分析可得要使不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$的解集非空，必須-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-3x，x≤a\\-x，a＜x≤\frac{a}{2}\\ 3x-2a，x＞\frac{a}{2}\end{array}\right.$，
函數(shù)的圖象為；
從圖中可知，函數(shù)f（x）的最小值為$-\frac{a}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）的最小值為$-\frac{a}{2}$，要使不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$的解集非空，
必須-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞-1．
∴a的取值范圍是（-1，0）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，涉及絕對值不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用絕對值的意義將f（x）寫成分段函數(shù)的形式．