Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當n∈N^*時，證明：（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e（其中（e≈2.718…即自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的關(guān)系，可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，結(jié)合x＞1加以討論可得實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）由（1）知：當a=1時f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，可得lnx＜x-1在（1，+∞）上成立，由此令x=1+$\frac{1}{2n}$得ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$，分別取n=1，2，3，…，n將得到的式子相加，再結(jié)合對數(shù)的運算法則即可證出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜$\frac{1}{x}$＜1，
∴a≥1，即實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）…（9分）
（2）證明：由（1）得當a=1時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）=lnx-（x-1）＜f（1）=0，可得 lnx＜x-1，（x＞1），
令x=1+$\frac{1}{2n}$，可得ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$
分別取n=1，2，3，…，n得
ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
即ln[（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）]＜lne，
可得（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+）（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e，對任意的n∈N^*成立．

點評 本題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，并依此證明不等式恒成立．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和不等式恒成立的證明等知識，屬于中檔題．