Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，其中x＞0，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x＞0，使得f′（x）＞lnx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在x＞0，使得$a-\frac{1}{x}＞lnx$成立，只需$a＞\frac{1}{x}+lnx$的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=ax-lnx，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，x＞0，a∈R，
若a≤0，則${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}＜0$對(duì)x＞0恒成立，
所以，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞0，則${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}＞0$時(shí)，$x＞\frac{1}{a}$
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{a}}）$，單調(diào)遞增區(qū)間為$（{\frac{1}{a}，+∞}）$；
（2）因?yàn)?{f^'}（x）=a-\frac{1}{x}$，所以，f′（x）＞lnx，即$a-\frac{1}{x}＞lnx$
若存在x＞0，使得$a-\frac{1}{x}＞lnx$成立，只需$a＞\frac{1}{x}+lnx$的最小值
設(shè)$g（x）=lnx+\frac{1}{x}$，則${g^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}＞0$時(shí)，x＞1
所以g（x）在（0，1）上減，在（1，+∞）上增，
所以x=1時(shí)，g（x）取最小值g（1）=1，
所以a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．