Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，分離出參數(shù)a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，f（x）=lnx-x，定義域為x∈（0，+∞）（1分）
$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$（2分），f'（x）＞0⇒x＜1，f'（x）＜0⇒x＞1（13分）
故在區(qū)間（0，1）函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）函數(shù)單調(diào)遞減  （4分）；
（2）$g（x）=lnx+ax+\frac{2}{x}$，$g'（x）=\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}$（5分）
函數(shù)（0，+∞）上單調(diào)遞減，導(dǎo)數(shù)在（0，+∞）上g'（x）≤0恒成立（6分）
參變分離$\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}≤0⇒a≤\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$（7分），
令$h（x）=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$，只需a≤h（x）_min即可，
$h'（x）=-\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{x-4}{x^3}$（9分）函數(shù)在區(qū)間（0，4）函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間（4，+∞）函數(shù)單調(diào)遞增  （10分），
∴$h{（4）_{min}}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{8}$$a≤-\frac{1}{8}$（12分）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．