Question

1．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$，設(shè)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞1}\\{f（-x），x≤1}\end{array}\right.$．若函數(shù)y=g（x）-t有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f（0）=0求出m的值，利用g（x）與f（x）的關(guān)系求出g（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$，
∴f（0）=0，即f（0）=1+m=0，得m=-1，
則f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，}&{x＞1}\\{\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}，}&{x≤1}\end{array}\right.$，
則當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，且當(dāng)x→1時(shí)，g（x）→${2}^{1}-\frac{1}{{2}^{1}}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，且g（x）≥g（1）=-（${2}^{1}-\frac{1}{{2}^{1}}$）=$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$，
由y=g（x）-t=0得g（x）=t，
作出函數(shù)g（x）和y=t的圖象如圖：
要使函數(shù)y=g（x）-t有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）與y=t只有一個(gè)交點(diǎn)，
則-$\frac{3}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$，
故答案為：[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．