Question

11．已知棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長為2的線段MN的一端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動，另一個端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動，動點(diǎn)E在線段CD₁上，則MN中點(diǎn)P到線段AE距離的最小值為$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分，再求出D到平面ACD₁的距離，即可求出MN中點(diǎn)P到線段AE距離的最小值．

解答 解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，由ND，DM，MN構(gòu)成一個直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
∴MN的中點(diǎn)P的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的$\frac{1}{8}$的球面．
設(shè)D到平面ACD₁的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{2}）^{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3$，
∴h=$\sqrt{3}$，
∴MN中點(diǎn)P到線段AE距離的最小值為$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評 本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程的判斷，考查MN中點(diǎn)P到線段AE距離的最小值，綜合性較強(qiáng)．