Question

18．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，Q，M分別為PA，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：直線QM∥平面PCD；
（2）若二面角A-BD-Q所成角正切值為2，求直線QC與平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)QN，MN．可通過證明平面QMN∥平面PCD得出QM∥平面PCD；
（2）在平面ABCD內(nèi)過C作CE⊥AD交延長線于E，連結(jié)QE，則CE⊥平面PAD，設(shè)菱形邊長為1，利用勾股定理，二面角的大小，菱形的性質(zhì)等計(jì)算AC，AE，AQ，得出CE，QE，于是tan∠CQE=$\frac{CE}{QE}$．

解答 證明：（1）取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)QN，MN．
∵底面ABCD為菱形，M，N是BC，AD的中點(diǎn)，
∴MN∥CD，
∵Q，N是PA，AD的中點(diǎn)，
∴QN∥PD，
又QN?平面QMN，MN?平面QMN，QN∩MN=N，CD?平面PCD，PD?平面PCD，CD∩PD=D，
∴平面QMN∥平面PCD，∵QM?平面QMN，
∴QM∥平面PCD．
（2）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)QO．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AD=AB，QA為公共邊，
∴Rt△QAD≌Rt△QAB，∴QD=QB，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴AO⊥BD，QO⊥BD，
∴∠AOQ為二面角A-BD-Q的平面角，∴tan∠AOQ=2．
在平面ABCD內(nèi)過C作CE⊥AD交延長線于E，連結(jié)QE．
則CE⊥平面PAD，∴∠CQE為直線QC與平面PAD所成的角．
設(shè)菱形ABCD的邊長為1，∵∠DAB=60°，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴QA=2AO=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AE=$\sqrt{3}$CE=$\frac{3}{2}$，
∴QE=$\sqrt{Q{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴tan∠CQE=$\frac{CE}{QE}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴直線QC與平面PAD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判斷，線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．