Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{12-x}$的最大值M．
（1）求實數(shù)M的值；
（2）求關(guān)于x的不等式|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≤M的解集．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的基本性質(zhì)求得f（x）的最大值，可得M的值．
（2）由絕對值三角不等式可得|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≥3$\sqrt{2}$=M，結(jié)合題意可得本題即求|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|=M=3$\sqrt{2}$的解集，從而求得x的范圍．

解答 解：（1）因為a，b＞0時，${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$≤$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，
∴$f（x）=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-x}≤2\sqrt{\frac{{（{x-3}）+（{12-x}）}}{2}}=3\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{15}{2}$時等號成立．
 故函數(shù)f（x）的最大值M為3$\sqrt{2}$．
（2）由絕對值三角不等式可得：|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≥|x-$\sqrt{2}$-（x+2$\sqrt{2}$）|=3$\sqrt{2}$=M，
即|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≥M，
當(dāng)且僅當(dāng)-2$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$時，取等號．
又不等式|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|≤M，
∴只有|x-$\sqrt{2}}$|+|x+2$\sqrt{2}}$|=M=3$\sqrt{2}$，
故要求的不等式的解集為{x|-2$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$ }．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．