Question

17．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求曲線C₁與曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，3），且曲線C₁與曲線C₂交于B，D兩點(diǎn)，求|PB|•|PD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程知：曲線C₁是過點(diǎn)（-1，3）的直線，相加消去參數(shù)t可得：曲線C₁的普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由判斷知：P在直線C₁上，將$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入曲線C₂的方程得：${t^2}+4\sqrt{2}t+6=0$，利用|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程知：曲線C₁是過點(diǎn)（-1，3）的直線，
相加消去參數(shù)t可得：曲線C₁的普通方程為x+y-2=0．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
展開可得ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），
利用互化公式可得：曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y=0．
（Ⅱ）由判斷知：P在直線C₁上，
將$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程x²+y²-2x-2y=0得：${t^2}+4\sqrt{2}t+6=0$，
設(shè)點(diǎn)B，D對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|，而t₁t₂=6，
∴|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與相交相交轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．