Question

7．設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時，若$\frac{h（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，則f（x）=lnx+x²-x的“類對稱點”的橫坐標(biāo)是（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=g（x））=（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）+x₀²-x₀+lnx₀，由此能推導(dǎo)出y=f（x）存在“類對稱點”，$\frac{\sqrt{2}}{2}$是一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)．

解答 解：函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為：
y=g（x）=（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）+x₀²-x₀+lnx₀，
設(shè)m（x）=f（x）-g（x）=x²-x+lnx-（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）-x₀²+x₀-lnx₀，
則m（x₀）=0．
m′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1-（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）=（x-x₀）（2-$\frac{1}{x{x}_{0}}$）=$\frac{1}{x}$（x-x₀）（2x-$\frac{1}{{x}_{0}}$）
若x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m（x）在（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）時，m（x）＜m（x₀）=0，此時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
若x₀＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，φ（x）在（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）時，m（x）＞m（x₀）=0，此時時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
∴y=f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上不存在“類對稱點”．
若x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{x}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＞x₀時，m（x）＞m（x₀）=0，
當(dāng)x＜x₀時，m（x）＜m（x₀）=0，故$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”，$\frac{\sqrt{2}}{2}$是一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對稱點”．解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，此題是難題．