Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=3t+2}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)，t∈R）的距離最短，并求出點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$可把圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程．
（II）消去參數(shù)把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心C到直線l的距離d，得出直線與圓的位置關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ，化為x²+y²-2y=0，配方為x²+（y-1）²=1．
（2）曲線C的圓心C（0，1），半徑r=1．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=3t+2}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)，t∈R）化為普通方程：$\sqrt{3}x$-y-1=0，
可得圓心C到直線l的距離d=$\frac{|0-1-1|}{2}$=1=0，
∴直線l與圓C相切，其切點(diǎn)即為所求．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{\sqrt{3}x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得D$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．