5．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為H，則以下命題中，錯誤的是（　�。�
A．點H是△A1BD的垂心B．直線AH與CD1的成角為900
C．AH的延長線經(jīng)過點C1D．直線AH與BB1的成角為450

分析 由題意判斷A-A1BD是一個正三棱錐，說明H是三角形A1BD的中心，判斷A的正誤；由AH⊥面A1BD，可得AH⊥A1B，再由CD1∥A1B，可得直線AH與CD1的成角為90°；由過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條可得AH與AC1重合，判斷C正確；通過解三角形求得直線AH與BB1所成的角判斷D．

解答 解：由ABCD-A1B1C1D1是正方體，得A-A1BD是一個正三棱錐，因此A點在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故A正確；
∵AH⊥面A1BD，∴AH⊥A1B，又CD1∥A1B，可得直線AH與CD1的成角為90°，故B正確；
連接AC1，由三垂線定理及線面垂直的判定可得AC1⊥面A1DB，再由過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條可得AH與AC1重合，可得C正確；
直線AH與BB1所成的角，即為AH與AA1所成的角，設(shè)為θ，
由正方體棱長為1，可得正三棱錐的底面邊長為$\sqrt{2}$，從而求得AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查正方體中有關(guān)直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．已知等比數(shù)列{an}，首項為81，數(shù)列{bn}滿足bn=log3an，其前n項和Sn．
（1）證明{bn}為等差數(shù)列；
（2）若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（Ⅰ）求直線AC與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD？若存在，求出$\frac{PG}{GA}$的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，O為坐標原點．
（1）設(shè)動直線L交橢圓E于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}$$⊥\overrightarrow{OB}$
①求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值；
②求△OAB的面積的取值范圍．
（2）過M（x1y1）的直線l1：x1x+2y1y=8$\sqrt{2}$與過N（x2，y2）的直線l2：x2x+2y2y=8$\sqrt{2}$的交點P（x0，y0）在橢圓E上，直線MN與橢圓E的兩準線分別交于G、H兩點，求$\overrightarrow{OG}$$•\overrightarrow{OH}$的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

20．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為a的正三角形，AA′=$\sqrt{3}$a，則直線AB′與側(cè)面AC′所成角的正切值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

10．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC⊥BC，若AC=BC=1，SA=AB，則SB與平面SAC所成角的大小為30°．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD∥AQ，且AQ=AB=$\frac{1}{2}$PD，M為PC中點．
（1）求證：PD⊥QM；
（2）求二面角B-PQ-A大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知直線l：y=-x+1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若直線l恰好經(jīng)過橢圓C的一個焦點F，且橢圓C上的點到F的最大距離為$\sqrt{3}$+1，求橢圓C的標準方程．
（2）若OA⊥OB（其中O為坐標原點），當橢圓C的離心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]時，求橢圓C的長軸長的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+（y-3）2=4的圓心為C，過點P（1，0）的直線l與圓C交于不同的兩點A、B．
（1）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）求證：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$為定值；
（3）以線段OA、OB為邊作平行四邊形AOBD，是否存在直線l，使得直線OD與直線PC平行？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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