Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x²+（y-3）²=4的圓心為C，過點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）求證：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$為定值；
（3）以線段OA、OB為邊作平行四邊形AOBD，是否存在直線l，使得直線OD與直線PC平行？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l：x=1或y=k（x-1），運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，計(jì)算即可得到直線方程；
（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，即可得證；
（3）以線段OA、OB為邊作平行四邊形AOBD，假設(shè)存在直線l，使得直線OD與直線PC平行．即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x-1），代入圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及向量的加法運(yùn)算和斜率公式，計(jì)算即可得到直線的斜率，注意檢驗(yàn)．

解答 解：（1）設(shè)直線l：x=1或y=k（x-1），
當(dāng)直線為x=1時(shí)，代入圓的方程，可得y=3$±\sqrt{3}$，
即有弦長|AB|=2$\sqrt{3}$，滿足題意；
當(dāng)直線為y=k（x-1），圓心（0，3）到直線的距離d=$\frac{|-k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由弦長公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{{r}^{2}-bq726t6^{2}}$=2$\sqrt{4-wdwrutz^{2}}$，
解得d=1，
由$\frac{|-k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=-$\frac{4}{3}$，
即有直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
故直線l的方程為x=1或y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$；
（2）證明：設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓x²+（y-3）²=4，可得t²+t（2cosα-6sinα）+6=0，
解得t₁t₂=6，
由于A，B在P的同側(cè)，即有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|
=|t₁t₂|=6；
（3）解：以線段OA、OB為邊作平行四邊形AOBD，
假設(shè)存在直線l，使得直線OD與直線PC平行．
即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，
顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x-1），
代入圓的方程，可得（1+k²）x²-2k（k+3）x+（k+3）²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），
即有△=4k²（k+3）²-4（1+k²）[（k+3）²-4]＞0，
化簡得3k²-6k-5＞0，
x₁+x₂=$\frac{2k（k+3）}{1+{k}^{2}}$=x，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{6{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$=y，
由直線OD與直線PC平行，
則有k_OD=k_PC=-3，
即為$\frac{y}{x}$=-3，
即$\frac{6{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$=-3•$\frac{2k（k+3）}{1+{k}^{2}}$，
解得k=0或-$\frac{4}{3}$，
代入3k²-6k-5＞0，檢驗(yàn)k=0不成立，
k=-$\frac{4}{3}$成立．
故存在直線l，且方程為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
使得直線OD與直線PC平行．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓相交的弦長公式和直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，同時(shí)考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．