Question

4．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求a_n的通項公式及S₁₀．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系即可得出；
（2）利用等比數列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N^*）．
∴${a}_{1}=\frac{1}{3}（{a}_{1}-1）$，a₁+a₂=$\frac{1}{3}（{a}_{2}-1）$，a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{3}$（a₃-1），
聯立解得a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{4}$，a₃=$-\frac{1}{8}$．
（2）由S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1）-$\frac{1}{3}$（a_n-1-1），
化為：${a}_{n}=-\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數列{a_n}是等比數列，首項與公比都為-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
S_n=$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=-$\frac{1}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

點評 本題考查了遞推關系、等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．