Question

14．已知函數(shù)f（x）=2msinx-2cos²x+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+3，且函數(shù)f（x）的最小值為19，求m的值．

Answer 1

分析 先把函數(shù)化成關(guān)于sinx的函數(shù)，利用換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，討論對(duì)稱軸的位置，判斷出函數(shù)的最小值的表達(dá)式，然后列關(guān)于m的方程求得m的值．

解答 解：f（x）=2msinx-2cos²x+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+3
=2sin²x+2msinx+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，
令t=sinx，則-1≤t≤1，
f（t）=2t²+2mt+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，函數(shù)的對(duì)稱軸為t=-$\frac{m}{2}$，
當(dāng)-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2時(shí)，
f（t）_min=f（-$\frac{m}{2}$）=-4m+1=19，求得m=-$\frac{9}{2}$（舍），
當(dāng)-$\frac{m}{2}$≥1，即m≤-2時(shí)，f（t）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$m²-2m+3=19，求得m=-4或8（舍去），
當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-1，即m≥2時(shí)，f（t）_min=f（-1）=$\frac{1}{2}$m²-6m-16=19，求得m=-6+2$\sqrt{17}$或-6-2$\sqrt{17}$（舍去）．
綜上所述知m=-4或-6+2$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，是中檔題．