Question

16．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c且a=5，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（ I ） 若cosB=$\frac{3}{5}$，求邊c的值．
（Ⅱ）若S_△ABC=$\sqrt{5}$，求周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （ I ）由題為解三角形，可利條件a=5，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，可先求出sinB，再運(yùn)用正弦定理，求出b，再由余弦定理可求出c．
（Ⅱ）由（1），可結(jié)合條件S_△ABC=$\sqrt{5}$，可得bc=10，再表示出三角形的周長(zhǎng)l=b+c+5，然后聯(lián)系均值不等式，可求出周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：（ I ）∵cosB=$\frac{3}{5}$＞0，且0＜B＜π，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，b=4$\sqrt{5}$；
再由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即80=c²+25-6c，
可得：c=11，或c=-2（舍去）．
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{5}$，
∴bc=10，
∴l(xiāng)=b+c+5≥2$\sqrt{bc}$+5=2$\sqrt{10}$+5，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{10}$時(shí)，周長(zhǎng)取到最小值為：2$\sqrt{10}$+5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，均值不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．