7.已知函數(shù)f(x)=4sinωx•cos(ωx+$\frac{π}{3}$)+$\sqrt{3}$的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱,其中ω為常數(shù),且ω∈(0,1).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若將y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{6}$,再將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位,縱坐標(biāo)不變,得y=h(x)的圖象,若關(guān)于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)利用兩角和的余弦展開,再利用倍角公式降冪,由輔助角公式化積,結(jié)合函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱,可得相位的終邊落在y軸,再由ω的范圍求得ω,則函數(shù)解析式可求;
(2)利用函數(shù)圖象的平移和伸縮變換求得函數(shù)y=h(x)的解析式,再由數(shù)形結(jié)合求得關(guān)于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解的實數(shù)k的取值范圍.

解答 解:(1)f(x)=4sinωx•cos(ωx+$\frac{π}{3}$)+$\sqrt{3}$=4sinωx•(cosωxcos$\frac{π}{3}$-sinωxsin$\frac{π}{3}$)+$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx$-2\sqrt{3}$sin2ωx+$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}cos2ωx$=$2sin(ωx+\frac{π}{3})$.
∵f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱,
∴$\frac{ωπ}{2}+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$,即$ω=2k+\frac{1}{3}$,k∈Z.
又ω∈(0,1),∴$ω=\frac{1}{3}$.
則$f(x)=2sin(\frac{x}{3}+\frac{π}{3})$;
(2)將y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{6}$,得y=2sin(2x$+\frac{π}{3}$),
再將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位,縱坐標(biāo)不變,得y=h(x)=2sin[2(x$-\frac{π}{3}$)+$\frac{π}{3}$]=2sin(2x-$\frac{π}{3}$).
由h(x)+k=0在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解,可得
h(x)=-k在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解,
畫出圖象如圖,由圖可知,要使h(x)=-k在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解,
則$-\sqrt{3}≤-k<\sqrt{3}$或-k=2,
∴$-\sqrt{3}<k≤\sqrt{3}$或k=-2.

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的確定,考查圖象的變換等問題,對于(2)的求解,畫出圖象使問題更加直觀易懂,是中檔題.

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②一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同;
③一組數(shù)據(jù)a,0,1,2,3,若該組數(shù)據(jù)的平均值為1,則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為2;
④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=a+bx中,b=2,$\overline{x}$=1,$\overline{y}$=3,則a=1.其中真命題為(  )
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④已知向量組{$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$,$\overrightarrow{c}$}是空間的一個基底,若$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$,則{$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$,$\overrightarrow{m}$}也是空間的一個基底.
其中正確命題的個數(shù)是( 。
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