Question

7．已知函數(shù)f（x）=4sinωx•cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{6}$，再將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，縱坐標(biāo)不變，得y=h（x）的圖象，若關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的余弦展開，再利用倍角公式降冪，由輔助角公式化積，結(jié)合函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，可得相位的終邊落在y軸，再由ω的范圍求得ω，則函數(shù)解析式可求；
（2）利用函數(shù)圖象的平移和伸縮變換求得函數(shù)y=h（x）的解析式，再由數(shù)形結(jié)合求得關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解的實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=4sinωx•cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=4sinωx•（cosωxcos$\frac{π}{3}$-sinωxsin$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx$-2\sqrt{3}$sin²ωx+$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}cos2ωx$=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）$．
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，
∴$\frac{ωπ}{2}+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，即$ω=2k+\frac{1}{3}$，k∈Z．
又ω∈（0，1），∴$ω=\frac{1}{3}$．
則$f（x）=2sin（\frac{x}{3}+\frac{π}{3}）$；
（2）將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{6}$，得y=2sin（2x$+\frac{π}{3}$），
再將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，縱坐標(biāo)不變，得y=h（x）=2sin[2（x$-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
由h（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解，可得
h（x）=-k在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解，
畫出圖象如圖，由圖可知，要使h（x）=-k在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解，
則$-\sqrt{3}≤-k＜\sqrt{3}$或-k=2，
∴$-\sqrt{3}＜k≤\sqrt{3}$或k=-2．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的確定，考查圖象的變換等問題，對于（2）的求解，畫出圖象使問題更加直觀易懂，是中檔題．