Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 法一：（1）由AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，能證明AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，由已知推導(dǎo)出DE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
法二：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C₁C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，則E（0，2，2），利用向量法能證明AC₁∥平面CDB₁．

解答 （本小題滿分13分）
證法一：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長(zhǎng)
AC=3，BC=4，且∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，
∴AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
證法二：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC、BC、C₁C兩兩垂直，
如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C₁C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），
B（0，4，0），B₁（0，4，4），D（$\frac{3}{2}$，2，0）
∵$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，0），∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，則E（0，2，2）．
∵$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}_{1}}$，∴DE∥AC₁．∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直、線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．