Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）據(jù)（1）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想；
（4）若題目已知條件不變，只要求求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式怎么解呢？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題先根據(jù)題目中遞推關(guān)系式，由a₁=

1

2

，求出a₂、a₃、a₄，并推測a_n的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，得到本題結(jié)論，也可以運(yùn)用構(gòu)造 新數(shù)列 的方法，對新數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行研究，從而得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*），
∴a1=

1

3-1

，
∴a₂=

a1

2a1+3

=

1 2

2× 1 2 +3

=

1

8

=

1

32-1

，
a3=

a2

2a2+3

=

1 8

2× 1 8 +3

=

1

26

=

1

33-1

，
a₄=

a3

2a3+3

=

1 26

2× 1 26 +3

=

1

80

=

1

34-1

，
（2）據(jù)（1）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式為：a n=

1

3n-1

，n∈N^*．
（3）下面數(shù)學(xué)歸納法證明．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，
a₁=

1

3-1

=

1

2

，
∴n=1時(shí)，猜想成立，
②假設(shè)n=k，k∈N^*時(shí)，猜想成立，
即ak=

1

3k-1

，
∴ak+1=

ak

2ak+3

=

1 3k-1

2 3k-1 +3

=

1

2+3(3k-1)

=

1

3k+1-1

，
∴n=k+1時(shí)，猜想仍成立，
由①②知：a n=

1

3n-1

，n∈N^*．
（4）用構(gòu)造法求數(shù)列求通項(xiàng)
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*），
∴a_n≠0，

1

an+1

=

2an+3

an

=

3

an

+2，
∴

1

an+1

+1=3(

1

an

+1)，
∵

1

a1

+1=3，
∴新數(shù)列{

1

an

+1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴

1

an

+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴a n=

1

3n-1

，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，通過猜想再證明的方法求數(shù)列的通項(xiàng)，也可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求數(shù)列的通項(xiàng)，本題難度適中，屬于中檔題．