Question

4．（1）設(shè)函數(shù)f（x）在x=3處可導(dǎo)，且f′（3）=-2，f（3）=2，求$\underset{lim}{x→3}$$\frac{2x-3f（x）}{x-3}$的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，已知f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)為A，求f（x）在-a處的導(dǎo)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，屬于“$\frac{0}{0}$”型，根據(jù)根據(jù)洛必達(dá)法則即可求出結(jié)論．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義，求出f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)，比較即可；

解答 解：（1）當(dāng)f（3）=2時(shí)，x→3時(shí)，2x-3f（x）→2×3-3×2=0，x-3→0，屬于“$\frac{0}{0}$”型，
根據(jù)洛必達(dá)法則，$\underset{lim}{x→3}$$\frac{2x-3f（x）}{x-3}$=$\underset{lim}{x→3}$[2-3f′（x）]=2-3×（-2）=8，
（2）：設(shè)f（-x）=g（x），則
g′（a）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{g（a+△x）-g（x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（-a-△x）-f（-a）}{△x}$
=-$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（-a-△x）-f（-a）}{-△x}$
=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)，
∵f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)為A，
∴f（x）在-a處的導(dǎo)數(shù)為-A．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義和洛必達(dá)法則，屬于基礎(chǔ)題．