Question

8．求證：
（1）C${\;}_{n}^{0}$+7C${\;}_{n}^{1}$+7²C${\;}_{n}^{2}$+…+7ⁿC${\;}_{n}^{n}$=2³ⁿ．
（2）2ⁿ-C${\;}_{n}^{1}$•2^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•2^n-2+…+（-1）^n-1C${\;}_{n}^{n-1}$•2+（-1）ⁿ=1．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項式展開式的通項公式、二項式定理化簡等式的左邊，即可證得結(jié)論．
（2）由條件利用二項式展開式的通項公式、二項式定理化簡等式的左邊，即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵C${\;}_{n}^{0}$+7C${\;}_{n}^{1}$+7²C${\;}_{n}^{2}$+…+7ⁿC${\;}_{n}^{n}$=（1+7）ⁿ=8ⁿ=2³ⁿ ，∴C${\;}_{n}^{0}$+7C${\;}_{n}^{1}$+7²C${\;}_{n}^{2}$+…+7ⁿC${\;}_{n}^{n}$=2³ⁿ 成立．
（2）證明：∵2ⁿ-C${\;}_{n}^{1}$•2^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•2^n-2+…+（-1）^n-1C${\;}_{n}^{n-1}$•2+（-1）ⁿ =（2-1）ⁿ=1，
∴2ⁿ-C${\;}_{n}^{1}$•2^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•2^n-2+…+（-1）^n-1C${\;}_{n}^{n-1}$•2+（-1）ⁿ=1．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．