Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2x的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞t²-t+1成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)x討論，由絕對(duì)值的含義可得f（x）的解析式，再由x≤1，1＜x＜2，x≥2，可得不等式組，分別解出它們，再求并集即可得到所求解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞t²-t+1成立，即有f（x）_max＞t²-t+1，求得f（x）的最大值為0，由二次不等式的解法，即可得到t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≤1}\\{2x-3，1＜x＜2}\\{1，x≥2}\end{array}\right.$，
不等式f（x）＞2x即為$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{-1＞2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2x-3＞2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{1＞2x}\end{array}\right.$，
即有x＜-$\frac{1}{2}$或x∈∅或x∈∅，
即有解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞t²-t+1成立，
即有f（x）_max＞t²-t+1，
由f（x）的解析式可得f（x）的最大值為1．
即有t²-t+1＜1，解得0＜t＜1．
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，同時(shí)考查不等式的存在性問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．