Question

若向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），b=（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）=a•b-

1

2

，且f（x）的周期是π，設△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若c=

7

，f（C）=

1

2

，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）化簡函數解析式可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由T=

2π

2ω

=

π

ω

=π即可解得ω．
（Ⅱ）由f（C）=sin（2C+

π

6

）=

1

2

，可得C=

π

3

，由余弦定理可得a²+b²-ab=7①，由已知及正弦定理可得：b=3a②，聯立即可解得a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=a•b-

1

2

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

6

）
由T=

2π

2ω

=

π

ω

=π
解得：ω=1

（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∴2C+

π

6

=

π

6

（舍去）或2C+

π

6

=

5π

6

，
∴C=

π

3

由余弦定理可得：7=a²+b²-2abcos

π

3

即有：a²+b²-ab=7①
∵sinB=3sinA
∴由正弦定理可得：b=3a②
由①②即可解得：a=1，b=3

點評：此題考查了正弦定理、余弦定理，平面向量數量積的運算以及特殊角的三角函數值的應用，考查了兩角和與差的正弦函數公式的應用，熟練掌握公式及相關定理是解本題的關鍵，屬于基本知識的考查．