Question

18．如圖，A是兩條平行直線之間的一定點，且點A到兩平行直線的距離分別為AM=1，AN=$\sqrt{2}$，設△ABC，AC⊥AB，且頂點B、C分別在兩平行直線上運動，則
（1）△ABC面積的最小值為$\sqrt{2}$；
（2）$\frac{1}{AB}+\frac{{\sqrt{2}}}{AC}$的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要求△ABC的面積，想著先求AB，AC，根據(jù)條件設∠MAB=θ，則∠CAN=$\frac{π}{2}$-θ，AB=$\frac{1}{cosθ}$，AC=$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$，從而便能求出S_△ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin2θ}$，所以sin2θ=1時面積最�。畬�AB，AC分別帶入$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{2}}{AC}$即可求得最大值即可．

解答 解：（1）設∠MAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）則：∠CAN=$\frac{π}{2}$-θ，AB=$\frac{1}{cosθ}$，AC=$\frac{\sqrt{2}}{cos（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$；
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{cosθ}$•$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin2θ}$≥$\sqrt{2}$；
當sin2θ=1，θ=$\frac{π}{4}$時取等號．
∴△ABC面積的最小值為：$\sqrt{2}$．
（2）$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{2}}{AC}$=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
當θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，θ=$\frac{π}{4}$時取等號．
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{2}}{AC}$的最大值為：$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$．

點評 設∠MAB=θ，并將AB，AC表示出來是求解本題的關鍵．本題考查直角三角形邊和角的關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值．