Question

7．已知圓x²+y²=4，圓內(nèi)定點P（1，0），過P作兩條互相垂直的弦AC和BD，設(shè)AC的傾斜角為可α（0$≤α＜\frac{π}{2}$）．
（1）求四邊形ABCD的面積S；
（2）當S取最大值時，求α及最大面積．

Answer 1

分析 （1）分別求出兩條弦所在直線的點斜式方程，利用圓的弦長公式，求出AC和BD，再由S=$\frac{1}{2}$AC•BD得到答案；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，令t=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得S取最大值時，α及最大面積的值．

解答 解：（1）∵AC的傾斜角為可α（0$≤α＜\frac{π}{2}$）．
當a=0時，AC即為x²+y²=4的直徑，
此時AC=4，BD=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$AC•BD=4$\sqrt{3}$；
當a≠0時，設(shè)AC的斜率為k，則BD的斜率為$-\frac{1}{k}$，
則直線AC和BD的方程分別為：y=k（x-1）和y=$-\frac{1}{k}$（x-1），
即kx-y-k=0和x+ky-1=0，
此時圓心到AC和BD的距離分別為：$\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$和$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
故AC=$2\sqrt{{2}^{2}-（\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4+3{k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$，BD=$2\sqrt{{2}^{2}-{（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$，
故四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$AC•BD=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$，
當k=0時，滿足S=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$，
故S=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$，
（2）∵S=2$\frac{\sqrt{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}{1{+k}^{2}}$=2$\sqrt{-（\frac{1}{{k}^{2}+1}）^{2}+\frac{1}{{k}^{2}+1}+12}$，
令t=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，則t∈（0，1]，S=2$\sqrt{-{t}^{2}+t+12}$，
則當t=$\frac{1}{2}$，即k=1，α=$\frac{π}{4}$時，S取取最大值7

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最大值，難度中檔．