Question

15．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的一條直線交拋物線于點P、Q，設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′，準(zhǔn)線與X軸的交點是點B，求證：P、Q′、B三點共線．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)P$（\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}，{y}_{1}）$，Q$（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，{y}_{2}）$，${Q}^{′}（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，-{y}_{2}）$，B$（-\frac{p}{2}，0）$．利用斜率計算公式可得：${k}_{P{Q}^{′}}$，k_PB．設(shè)直線PQ的方程為：$my+\frac{p}{2}$=x，與拋物線方程聯(lián)立化為y²-2pmy-p²=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，只有證明k_PB=${k}_{P{Q}^{′}}$，即可得出．

解答 證明：如圖所示，
設(shè)P$（\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}，{y}_{1}）$，Q$（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，{y}_{2}）$，${Q}^{′}（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，-{y}_{2}）$，B$（-\frac{p}{2}，0）$．
${k}_{P{Q}^{′}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}-\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，k_PB=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}}$=$\frac{2p{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}+{p}^{2}}$．
設(shè)直線PQ的方程為：$my+\frac{p}{2}$=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+\frac{p}{2}=x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²．
∴k_PB=$\frac{2p{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}+{p}^{2}}$=$\frac{2p{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
∴k_PB=${k}_{P{Q}^{′}}$，
∴P、Q′、B三點共線．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、過焦點的弦的性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．