Question

3．已知拋物線的方程x²=2py（p＞0），它的準線為y=-$\sqrt{3}$．以坐標軸為對稱軸的橢圓的一個焦點與該拋物線的焦點重合，橢圓的長軸為4．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=2x+2，若l與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，求使△PAB的面積為$\sqrt{2}$-1的點P的個數(shù)．

Answer 1

分析 （I）拋物線的方程x²=2py（p＞0），它的準線為y=-$\sqrt{3}$．可得$\frac{P}{2}=\sqrt{3}$，解得p，可得拋物線的焦點．設橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
利用c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，又2a=4，解出即可．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$解得A，B，可得|AB|，由△PAB的面積為$\sqrt{2}$-1，利用$\frac{1}{2}|AB|d$=$\sqrt{2}$-1，可得d．設與橢圓相切且與直線l平行的直線為：y=2x+m，與拋物線方程聯(lián)立化為8x²+4mx+m²-4=0，令△=0，解得m．求出切線與直線AB的距離與d比較即可判斷出．

解答 解：（I）拋物線的方程x²=2py（p＞0），它的準線為y=-$\sqrt{3}$．
∴$\frac{P}{2}=\sqrt{3}$，解得p=2$\sqrt{3}$，
可得拋物線的焦點$（0，\sqrt{3}）$．
設橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∴c=$\sqrt{3}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，又2a=4，
∴a=2，b²=1，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$解得A（-1，0），B（0，2）．
∴|AB|=$\sqrt{5}$，
∵△PAB的面積為$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{1}{2}|AB|d$=$\sqrt{2}$-1，∴d=$\frac{2（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{5}}$．
設與橢圓相切且與直線l平行的直線為：y=2x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為8x²+4mx+m²-4=0，
令△=16m²-32（m²-4）=0，解得$m=±2\sqrt{2}$．
∴切線方程為：$y=2x±2\sqrt{2}$，
當m=2$\sqrt{2}$時，直線l與切線y=2x+$2\sqrt{2}$的距離d₁=$\frac{|2\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=$2-\sqrt{2}$＞d；
當m=-2$\sqrt{2}$時，直線l與切線y=2x-$2\sqrt{2}$的距離d₂=$\frac{|2+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=$2+\sqrt{2}$＞d．
綜上可得：使△PAB的面積為$\sqrt{2}$-1的點P的個數(shù)為4．

點評 本題考查了拋物線與橢圓的標準及其性質(zhì)、直線與橢圓相交相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、平行線之間的距離、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．