Question

1．已知數(shù)列{a_n}前幾項和S_n，S_n-S_n-2=3（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），且S₁=1，S₂=-$\frac{3}{2}$，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由已知遞推式得${S}_{2n}={S}_{2}-3[（\frac{1}{2}）^{2n-1}+（\frac{1}{2}）^{2n-3}+…+（\frac{1}{2}）^{3}]$=$-2+（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，${S}_{2n+1}={S}_{1}+3[（\frac{1}{2}）^{2n}+（\frac{1}{2}）^{2n-2}+…+（\frac{1}{2}）^{2}]$=$2-（\frac{1}{2}）^{2n}$（n≥1），然后作差分別求出a_2n+1和a_2n后得答案．

解答 解：當數(shù)列含有偶數(shù)項時，有：
${S}_{2n}-{S}_{2n-2}=-3•（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，
${S}_{2n-2}-{S}_{2n-4}=-3•（\frac{1}{2}）^{2n-3}$，
…
${S}_{4}-{S}_{2}=-3•（\frac{1}{2}）^{3}$，
累加得${S}_{2n}={S}_{2}-3[（\frac{1}{2}）^{2n-1}+（\frac{1}{2}）^{2n-3}+…+（\frac{1}{2}）^{3}]$=$-2+（\frac{1}{2}）^{2n-1}$，
當數(shù)列含有奇數(shù)項時，有：
${S}_{2n+1}-{S}_{2n-1}=3•（\frac{1}{2}）^{2n}$，
${S}_{2n-1}-{S}_{2n-3}=3•（\frac{1}{2}）^{2n-2}$，
…
${S}_{3}-{S}_{1}=3•（\frac{1}{2}）^{2}$．
累加得${S}_{2n+1}={S}_{1}+3[（\frac{1}{2}）^{2n}+（\frac{1}{2}）^{2n-2}+…+（\frac{1}{2}）^{2}]$=$2-（\frac{1}{2}）^{2n}$（n≥1），
∴${a}_{2n+1}={S}_{2n+1}-{S}_{2n}=4-3•（\frac{1}{2}）^{2n}（n≥1）$，
${a}_{2n}={S}_{2n}-{S}_{2n-1}=-4+3•（\frac{1}{2}）^{2n-1}（n≥1）$．
又a₁=S₁=1，
綜上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4-3•（\frac{1}{2}）^{n+1}，n是奇數(shù)}\\{-4+3•（\frac{1}{2}）^{n-1}，n是偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)，著重考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．