Question

16．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，其中k＞0．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，求k的值；
（2）記f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，是否存在實數x，使得f（k）≥1-tx對任意的t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出實數x的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，解方程即可得到k的值；
（2）求出f（k），再由重要不等式求得f（k）的最小值，假設存在實數x，使得f（k）≥1-tx對任意的t∈[-1，1]恒成立，構造一次函數運用單調性，解不等式即可判斷．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos60°=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
由|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，兩邊平方可得，
（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）²=3（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$）²，
${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k²${\overrightarrow}^{2}$=3（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k²${\overrightarrow}^{2}$），
即有1+k+k²=3（1-k+k²），
解得k=1；
（2）由${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k²${\overrightarrow}^{2}$=3（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k²${\overrightarrow}^{2}$），
可得8k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2（1+k²），
f（k）=$\frac{1+{k}^{2}}{4k}$，
由k＞0，可得1+k²≥2k，
即有f（k）≥$\frac{1}{2}$，
當且僅當k=1，f（k）取得最小值$\frac{1}{2}$．
假設存在實數x，使得f（k）≥1-tx對任意的t∈[-1，1]恒成立，
則有1-tx$≤\frac{1}{2}$對任意的t∈[-1，1]恒成立．
由一次函數的單調性，可得1+x$≤\frac{1}{2}$且1-x$≤\frac{1}{2}$，
即x≤-$\frac{1}{2}$，且x≥$\frac{1}{2}$，即有x∈∅．
故不存在實數x，使得f（k）≥1-tx對任意的t∈[-1，1]恒成立．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，同時考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，構造一次函數運用單調性是解題的關鍵．