Question

18．記f（x）=ax²-bx+c，若不等式f（x）＞0的解集為（1，3），試解關(guān)于t的不等式f（2^t+8）＜f（2+2^2t）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)不等式的關(guān)系，得出f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，再利用f（x）的單調(diào)性
把不等式f（2^t+8）＜f（2+2^2t）轉(zhuǎn)化為8+2^t＞2+2^2t，求出該不等式的解集即可．

解答 解：根據(jù)題意，得
f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）=a（x-1）（x-3），且a＜0，
所以二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，
又因?yàn)?+2^t＞8，2+2^2t≥2，
所以，由二次函數(shù)的單調(diào)性得，
不等式f（2^t+8）＜f（2+2^2t）等價(jià)于
8+2^t＞2+2^2t，
即2^2t-2^t-6＜0，
解得2^t＜3，
即t＜log₂3；
所以該不等式的解集為{t|t＜log₂3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題目．