Question

10．如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD對折，使得平面BCD⊥平面ABD，點E是BD中點，點F滿足：FA∥CE，且$FA=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：AB∥平面CDF；
（Ⅱ）求二面角A-FC-D的余弦值．

Answer 1

分析 方法1：（I）FA⊥平面ABD，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出平面CDF的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$，計算$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0$，即可證明AB∥平面CDF．
（II）取AFC的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-1，1，0），利用向量的數(shù)量積求解二面角A-FC-D的余弦值．
方法2：（I）分別取AD、FD的中點是M、N，連結(jié)EM、MN、NC，通過MN∥AF，CN∥EM，證明CN∥AB，然后證明AB∥平面CDF．
（II）證明CE⊥平面ABD，距離空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出平面CDF的一個法向量，平面AFC的一個法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角A-FC-D的余弦值．

解答 解：方法1：（I）在正方形ABCD中，CE⊥BD，
∵平面BCD⊥平面ABD，交線是BD，∴CE⊥平面ABD，
∵FA∥CE，∴FA⊥平面ABD，…（2分）
∴如圖空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則：
則$A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，\sqrt{2}）$，$D（0，2，0），F(xiàn)（0，0，2\sqrt{2}）$，
∴$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DF}=（0，-2，2\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{DC}=（1，-1，\sqrt{2}）$，

設(shè)平面CDF的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DF}=0\\ \overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2y+2\sqrt{2}z=0\\ x-y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，
取z=1，解得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，\sqrt{2}，1）$，
而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0$，∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{{n}_{1}}$，
又AB?平面CDE，∴AB∥平面CDF；…（6分）
（II）∵BD⊥AF，BD⊥AE，∴BD⊥平面AFC，
∵$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，∴可以取平面AFC的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-1，1，0），
∵$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角A-FC-D是銳二面角，
∴二面角A-FC-D的余弦值是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）
方法2：（I）分別取AD、FD的中點是M、N，連結(jié)EM、MN、NC，
則MN∥AF，$MN=\frac{1}{2}AF$，又FA∥CE，$CE=\frac{1}{2}AF$，
∴四邊形CEMN是平行四邊形，∴CN∥EM，
∵EM∥AB，∴CN∥AB，
又AB?平面CDE，∴AB∥平面CDF；…（6分）
（II）在正方形ABCD中，∴CE⊥BD，
∵平面BCD⊥平面ABD，交線是BD，∴CE⊥平面ABD，
∵FA∥CE，∴FA⊥平面ABD，…（8分）
∴如圖空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則：
則$A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，\sqrt{2}）$，$D（0，2，0），F(xiàn)（0，0，2\sqrt{2}）$，∴$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DF}=（0，-2，2\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{DC}=（1，-1，\sqrt{2}）$，
設(shè)平面CDF的一個法向量為n₁=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{{n}_1}•\overrightarrow{DF}=0\\{{n}_1}•\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}-2y+2\sqrt{2}z=0\\ x-y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，
取z=1，解得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，\sqrt{2}，1）$，
∵BD⊥AF，BD⊥AE，∴BD⊥平面AFC，
∵$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，∴可以取平面AFC的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-1，1，0），
∵$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角A-FC-D是銳二面角，
∴二面角A-FC-D的余弦值是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查空間向量求解二面角的大小的方法，直線與平面平行的判定定理的證明方法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．